▷ Binárny, desatinný, osmičkový a hexadecimálny systém, čo to je a ako to funguje

Ak ste študent informatiky, elektroniky alebo iného odboru strojárstva, jednou z vecí, ktoré by ste mali vedieť, je vykonávať číslovanie systémových konverzií. Pri výpočtovej technike sa používané číslovacie systémy líšia od tých, ktoré tradične poznáme, ako je náš desatinný systém. Preto sa veľmi pravdepodobne, ak sa venujeme oblasti výpočtovej, programovacej a podobnej technológie, budeme musieť poznať najpoužívanejšie systémy a vedieť, ako previesť z jedného systému na druhý.

Index obsahu

Ako vykonávať číselné systémové konverzie

Obzvlášť užitočné je poznať desiatkový až binárny prevodný systém a naopak, pretože je to systém číslovania, s ktorým komponenty počítača priamo pracujú. Veľmi užitočné je však poznať hexadecimálny systém, pretože sa používa napríklad na znázornenie farebných kódov, kľúčov a veľkého počtu kódov od nášho tímu.

Číslovacie systémy

Systém číslovania pozostáva zo znázornenia množiny symbolov a pravidiel, ktoré nám umožňujú zostavovať platné čísla. Inými slovami, spočíva v použití série ohraničených symbolov, pomocou ktorých bude možné vytvárať ďalšie číselné hodnoty bez obmedzenia.

Bez toho, aby sme zachádzali príliš ďaleko do matematických pojmov definícií, budú systémy, ktoré ľudia a stroje používajú najčastejšie, tieto:

Desatinná sústava

Je to polohový číselný systém, v ktorom sú množstvá reprezentované aritmetickou bázou čísla desať.

Keďže základňou je číslo desať, budeme schopní zostaviť všetky čísla pomocou desiatich čísel, ktoré poznáme všetci. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9. Tieto čísla sa použijú na vyjadrenie pozície právomocí 10 pri tvorbe ľubovoľného čísla.

V tomto systéme číslovania by sme teda mohli reprezentovať číslo nasledujúcim spôsobom:

Vidíme, že desatinné číslo je súčet každej hodnoty základňou 10 zvýšenou na pozíciu-1, ktorú zaujíma každý člen. Budeme to pamätať na konverzie v iných systémoch číslovania.

Binárny systém

Binárny systém je systém číslovania, v ktorom sa používa aritmetická báza 2. Tento systém je interne používaný počítačmi a digitálnymi systémami na vykonávanie všetkých procesov.

Tento systém číslovania predstavujú iba dve číslice, 0 a 1, a preto je založený na 2 (dve číslice), čím sa vytvoria všetky hodnotové reťazce.

Oktálny systém

Tak ako v predchádzajúcich vysvetleniach, aj teraz si vieme predstaviť, čo sa týka osmičkového systému. Oktálový systém je systém číslovania, v ktorom sa používa aritmetická báza 8, to znamená, že budeme mať 8 rôznych číslic, ktoré budú reprezentovať všetky čísla. Budú to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 a 7.

Hexadecimálny systém

Podľa predchádzajúcich definícií je systém desatinného číslovania systém pozičného číslovania, ktorý je založený na čísle 16. V tomto bode si položíme otázku, ako získame 16 rôznych čísel, ak napríklad 10 je kombináciou dvoch čísel. inak?

Veľmi jednoduché sme ich vynašli, nie my, ale tí, ktorí vymysleli daný systém. Čísla, ktoré tu budeme mať, budú: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E a F. celkovo je to 16 rôznych pojmov. Ak ste niekedy nastavili číselný kód farby, má tento typ číslovania, a preto uvidíte, ako biela je napríklad reprezentovaná ako hodnota FFFFFF. Uvidíme neskôr, čo to znamená.

Prevod medzi binárnym a desatinným systémom

Keďže je to najzákladnejšie a najzrozumiteľnejšie, začneme konverziou medzi týmito dvoma systémami číslovania.

Prevod čísla z binárneho na desiatkové

Ako sme videli v prvej časti, reprezentujeme desatinné číslo ako súčet hodnôt vynásobených silou 10 na pozíciu-1, ktorú zaujíma. Ak to použijeme na ľubovoľné binárne číslo s príslušnou základňou, budeme mať nasledujúce:

1	0	0	1	1	0
1, 2 5	1 2 2 4	1 2 2 3	1 2 2	1 · 2 1	1 · 2 0

Ak by sme však postupovali rovnako ako v desiatkovej sústave, získali by sme, samozrejme, iné hodnoty ako 0 a 1, čo sú hodnoty, ktoré môžeme v tomto systéme číslovania reprezentovať.

Presne to však bude veľmi užitočné na vykonanie prevodu na desatinný systém. Vypočítajme výsledok každej hodnoty v poli:

1	0	0	1	1	0
1, 52 = 32	1, 2, 4 = 0	1, 2 3 = 0	1, 2, 4 = 4	1, 2 1 = 2	1, 02 = 0

Ak teda urobíme súčet týchto hodnôt vyplývajúcich z každej bunky, získame desatinnú ekvivalentnú hodnotu binárnej hodnoty.

Desatinná hodnota 100110 je 38

Iba sme museli vynásobiť číslicu (0 alebo 1) jej základňou (2) zdvihnutou na pozíciu-1, ktorú zaujíma na obrázku. Pridáme hodnoty a budeme mať číslo v desiatkovej sústave.

Ak ste neboli presvedčení, teraz vykonáme opačný postup:

Preveďte desatinné číslo na binárne

Ak predtým, ako sme urobili násobenie čísel a súčet na určenie desatinnej hodnoty, teraz musíme urobiť delenie desatinného čísla základňou systému, na ktorý ho chceme previesť, v tomto prípade 2.

Tento postup budeme vykonávať dovtedy, kým už nebude možné vykonať ďalšie rozdelenie. Pozrime sa na príklad, ako by sa to stalo.

číslo	38	19	9	4	2	1
delenie	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
spočívať	0	1	1	0	0	1

Je to výsledok minimalizácie postupných divízií. Možno ste už pochopili, ako to funguje. Ak teraz vezmeme zvyšky každej divízie a obrátime jej pozíciu, dostaneme binárnu hodnotu desatinného čísla. To znamená, že sme začali od miesta, kde sme ukončili divíziu dozadu:

Máme teda nasledujúci výsledok: 100110

Ako vidíme, podarilo sa nám mať presne to isté číslo ako na začiatku sekcie.

Prevod zlomkového desatinného čísla na binárne

Ako dobre vieme, existujú nielen celé desatinné čísla, ale nájdeme aj skutočné čísla (zlomky). A ako systém číslovania by malo byť možné previesť číslo z desatinného systému na binárny systém. Vidíme, ako to urobiť. Zoberme si ako príklad číslo 38, 375

Musíme oddeliť každú časť. Už vieme, ako vypočítať celú časť, takže pôjdeme priamo na desatinnú časť.

Postup bude nasledujúci: musíme zobrať desatinnú časť a vynásobiť ju základňou systému, t. J. Výsledok násobenia musíme znova vynásobiť, až kým nedosiahneme zlomkovú časť 0. Ak sa pri násobení objaví frakčné číslo s celočíselnou časťou, budeme musieť brať zlomok iba pre ďalšie násobenie. Pozrime sa na príklad, aby sme ho lepšie pochopili.

číslo	0375	0.75	0.50
násobenie	* 2 = 0, 75	* 2 = 1, 50	* 2 = 1, 00
Celá časť	0	1	1

Ako vidíme, vezmeme desatinnú časť a znova ju vynásobíme, až kým nedosiahneme 1, 00, kde výsledok bude vždy 0.

Výsledkom 38 375 binárnych bude potom 100 110 011

Čo sa však stane, keď v tomto procese nikdy nedosiahneme výsledok 1, 00? Pozrime sa na príklad s 38, 45

číslo	0, 45	0, 90	0, 80	0.60	0.20	0.40	0, 80
násobenie	* 2 = 0, 90	* 2 = 1, 80	* 2 = 1, 60	* 2 = 1, 20	* 2 = 0, 40	* 2 = 0, 80	* 2 = 1, 60
Celá časť	0	1	1	1	0	0	1

Ako vidíme , od 0, 80 sa proces stáva pravidelným, to znamená, že nikdy nedokončíme postup, pretože sa vždy objavia čísla od 0, 8 do 0, 4. Naším výsledkom bude aproximácia desatinného čísla, čím ďalej ideme, tým väčšiu presnosť získame.

Takže: 38, 45 = 100 110, 01110011001 1001 …

Pozrime sa, ako to urobiť opačným procesom

Prevod zlomkového binárneho čísla na desatinné miesto

Tento proces sa bude vykonávať rovnakým spôsobom ako pri normálnej zmene základne, s výnimkou toho, že od čiarky budú právomoci záporné. Vezmime si celú časť predchádzajúceho binárneho čísla:

0	1	1	1	0	0	1	...
0, 2 -1 = 0	1, 2-2 = 0, 25	1, 2, 3 = 0, 125	1, 2, 4 = 0, 0625	1, 5-2 = 0	1, 2-2 = 0	1, 2-2 = 0, 0078125	…

Ak pridáme výsledky, získame:

0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 + 0, 0078125 = 0, 4453

Keby sme pokračovali vo vykonávaní operácií, priblížili by sme sa k presnej hodnote 38, 45

Konverzia medzi osmičkovým a binárnym systémom

Teraz sa pozrieme na to, ako vykonať prevod medzi dvoma systémami, ktoré nie sú desatinné, preto vezmeme osmičkový systém a binárny systém a urobíme rovnaký postup ako v predchádzajúcich častiach.

Prevod čísla z binárneho na osmičkový

Konverzia medzi oboma číslovacími systémami je veľmi jednoduchá, pretože základňa osemuálneho systému je rovnaká ako v binárnom systéme, ale je zvýšená na silu 3, 2 ³ = 8. Na základe toho sa chystáme zoskupiť binárne výrazy do skupín po troch sprava doľava a priamo previesť na desatinné číslo. Pozrime sa na príklad s číslom 100110:

1	0	0	1	1	0
100	110
0, 2-2 = 4	0, 2 1 = 0	1, 02 = 0	1, 2, 4 = 4	1, 2 1 = 2	0, 2 0 = 0
4	6

Zoskupujeme každé tri číslice a prevádzame na desatinné miesto. Konečným výsledkom bude 100110 = 46

Ale čo keď nemáme perfektné skupiny po 3? Napríklad 1001101, máme dve skupiny 3 a jednu z 1, pozrime sa, ako postupovať:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0, 2 2 = 0	0, 2 1 = 0	1, 02 = 1	0, 2 2 = 0	0, 2 1 = 0	1, 02 = 1	1, 2, 4 = 4	1, 2 1 = 0	1, 02 = 1
1	1	5

Po postupe berieme skupiny z pravej časti semestra a keď dosiahneme koniec, vyplníme toľko núl, koľko je potrebné. V tomto prípade potrebujeme dve na dokončenie poslednej skupiny. Takže 1001101 = 115

Preveďte osmičkové číslo na binárne

Postup je rovnako jednoduchý ako opak, to znamená prechod z binárneho na desatinné v skupinách po 3. Pozrime sa na to s číslom 115

hodnota	1	1	5
delenie	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
spočívať	1	0	0	1	0	0	1	0	1
skupina	001	001	101

Týmto spôsobom vidíme, že 115 = 001001101 alebo čo je rovnaké 115 = 1001101

Prevod medzi osmičkovým a desiatkovým systémom

Teraz uvidíme, ako vykonať postup prechodu zo systému osmičiek na desatinné miesta a naopak. Uvidíme, že postup je úplne rovnaký ako v prípade desatinného a binárneho systému, základňu musíme zmeniť na 8 namiesto 2.

Postupy vykonáme priamo s podmienkami s zlomkovou časťou.

Preveďte desatinné číslo na osmičkovú

V súlade s postupom desatinnej binárnej metódy ju vykonáme na príklade 238.32:

Celá časť. Delíme sa základňou, ktorá je 8:

číslo	238	29	3
delenie	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	-
spočívať	6	5	3

Desatinná časť vynásobíme základňou, ktorá je 8:

číslo	0.32	0, 56	0, 48	0, 84	0, 72	…
násobenie	* 8 = 2, 56	* 8 = 4, 48	* 8 = 3, 84	* 8 = 6, 72	* 8 = 5, 76	…
Celá časť	2	4	3	6	5	…

Získaný výsledok je nasledujúci: 238, 32 = 356, 24365…

Preveďte osmičkové číslo na desatinné miesto

Potom urobme opačný postup. Prejdime osmičkové číslo 356 243 na desatinné miesto:

3	5	6	,	2	4	3
3, 8 2 = 192	5, 8 1 = 40	6, 220 = 6		2, 8 -1 = 0, 25	4, 8 - 2 = 0, 0625	3, 8-3 = 0, 005893

Výsledok je: 192 + 40 + 6, 0, 25 + 0, 0625 + 0, 005893 = 238, 318

Prevod medzi hexadecimálnym a desatinným systémom

Potom skončíme proces konverzie medzi hexadecimálnym číslovacím systémom a desiatkovým systémom.

Preveďte desatinné číslo na hexadecimálne

Podľa postupu desatinnej-binárnej a desatinnej-osmičkovej metódy ju vykonáme na príklade 238.32:

Celá časť. Delíme sa základňou, ktorá je 16:

číslo	238	14
delenie	÷ 16 = 14	-
spočívať	E	E

Desatinná časť vynásobíme základňou, ktorá je 16:

číslo	0.32	0.12	0, 92	0, 72	0, 52	…
násobenie	* 16 = 5, 12	* 16 = 1, 92	* 16 = 14, 72	* 16 = 11, 52	* 16 = 8, 32	…
Celá časť	5	1	E	B	8	…

Získaný výsledok je nasledujúci: 238, 32 = EE, 51EB8…

Prevod čísla z hexadecimálnej na desatinnú

Potom urobme opačný postup. Prejdeme hexadecimálne číslo EE, 51E na desatinné miesto:

E	E	,	5	1	E
E16 1 = 224	E · 16 0 = 14		5 · 16 -1 = 0, 3125	1, 16 -2 = 0, 003906	E16 -3 = 0, 00341

Výsledok je: 224 + 14, 0, 3125 + 0, 003906 + 0, 00341 = 238, 3198…

Toto sú hlavné spôsoby, ako zmeniť základňu z jedného systému číslovania na iný. Systém je použiteľný pre systém v akejkoľvek základnej a desatinnej sústave, hoci sú najpoužívanejšie v oblasti výpočtovej techniky.

Môže vás zaujímať aj:

Ak máte nejaké otázky, nechajte ich v komentároch. Pokúsime sa vám pomôcť.